一维谐振腔中的电磁场量子化

真空中无源电磁场满足麦克斯韦方程组，

$$\begin{gathered} \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \boldsymbol{B}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \\ \nabla \cdot \boldsymbol{E}=0 \end{gathered}$$

在谐振腔中，电磁波具有驻波形式，将$E(x,t)$采用驻波展开，

$$E(x, t)=\sum_{j} A_{j} q_{j}(t) \sin \left(k_{j} x\right),k_j=\frac{j\pi}{L},j=1,2,3,..$$

其中，$L$为谐振腔的长度，$q_j(t)$具有长度量纲，$A_j$为待定系数。由麦克斯韦方程组可知，

$$-\frac{\partial B}{\partial x}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial E}{\partial t}$$

从而，

$$B(x, t)=\frac{1}{c} \sum_{j} \frac{A_{j}}{\omega_{j}} \frac{p_{j}(t)}{m_{j}} \cos \left(k_{j} x\right)$$

其中，$c$为真空中的光速，$\omega_j=ck_j$，$\frac{p_j(t)}{m_j}=\frac{dq_j(t)}{dt}$，$m_j$具有质量量纲，$p_j(t)$具有动量量纲。

电磁场的总能量为

$$\begin{aligned} H&=\frac{1}{2} \int \mathrm{d} x\left(\varepsilon_{0} E^{2}+\frac{1}{\mu_{0}} B^{2}\right) \\&=\sum_{j} \frac{V \epsilon _0A_{j}^{2}}{2 m_{j} \omega_{j}^{2}}\left(\frac{1}{2} m_{j} \omega_{j}^{2} q_{j}^{2}+\frac{p_{j}^{2}}{2 m_{j}}\right) \end{aligned}$$

令$\frac{V\epsilon _0 A_{j}^{2}}{2 m_{j} \omega_{j}^{2}}=1$，得到$A_j=\sqrt{2m_j\omega_j^2/V\epsilon_0}$，则有

$$H=\sum_{j}\left(\frac{1}{2} m_{j} \omega_{j}^{2} q_{j}^{2}+\frac{p_{j}^{2}}{2 m_{j}}\right) \equiv \sum_{j} H_{j}$$

其形式与一维谐振子相同，引入对易关系

$$\left[q_{j}, p_{k}\right]=i \hbar \delta_{j k}, \quad\left[q_{j}, q_{k}\right]=0, \quad\left[p_{j}, p_{k}\right]=0$$

产生湮灭算符

$$\begin{aligned} &a_{j}(t)=\sqrt{\frac{1}{2 m_{j} \hbar \omega_{j}}}\left[m_{j} \omega_{j} q_{j}(t)+\mathrm{i} p_{j}(t)\right] \\ &a_{j}^{+}(t)=\sqrt{\frac{1}{2 m_{j} \hbar \omega_{j}}}\left[m_{j} \omega_{j} q_{j}(t)-\mathrm{i} p_{j}(t)\right] \end{aligned}$$

其满足玻色子对易关系

$$\left[a_{j}, a_{k}^{+}\right]=\delta_{j k}, \quad\left[a_{j}, a_{k}\right]=0, \quad\left[a_{j}^{+}, a_{k}^{+}\right]=0$$

将上述算符代入$H_j$，$E_j$,$B_j$中，得到

$$\begin{gathered} H_{j}=\hbar \omega_{j}\left(a_{j}^{+} a_{j}+\frac{1}{2}\right) \\ E_{j}(x, t)=E_{j}^{(s)} \sin \left(k_{j} x\right)\left[a_{j}(t)+a_{j}^{+}(t)\right] \\ B_{j}(x, t)=-\mathrm{i} \frac{E_{j}^{(s)}}{c} \cos \left(k_{j} x\right)\left[a_{j}(t)-a_{j}^{+}(t)\right] \end{gathered}$$

其中，$E_j^{(s)}=\sqrt{\hbar\omega_j/V\epsilon_0}$，$(s)$表示驻波。上述形式即一维谐振腔中电磁场的量子化。