一般性理论

对于一个物理系统，可以通过对其施加某种程度的扰动，如外加场等，然后观察系统的物理量因外加扰动引起的响应，通过建立扰动与响应之间的关系得知系统元激发的信息。

施加的外场往往含时，假设施加的外场$f(t)$与系统算符存在$S$如下相互作用

$\begin{align} H_{int}=-S\cdot f(t) \end{align}$

施加外场后，系统哈密顿量

$\begin{align} H=H_0-S\cdot f(t) \end{align}$

假设扰动非常小，不会引起系统本征值与本征态的改变，可采用一阶含时微扰的方法。采用相互作用绘景，一阶含时微扰的演化算符为

$\begin{align} U(t,t_0)=1+\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}dt'S_H(t')f(t') \end{align}$

故

$\begin{align} \begin{split} S(t)&=U^{\dagger}(t,t_0)S_I(t)U(t,t_0)\\ &=[1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}dt'S_I(t')f(t')]S_I(t)[1+\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}dt'S_I(t')f(t')]\\ &\approx S_I+\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}dt'f(t')[S_I(t),S_I(t')] \end{split} \end{align}$

假设$t\rightarrow-\infty$时，系统处于稳定态，然后变量代换，设时差$\tau=t-t’$，得到

$\begin{align} S(t)=S_I(t)+\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{\infty}d\tau f(t-\tau)[S_I(\tau),S_I(0)] \end{align}$

对上式取系综平均并移项

$\begin{align} \overline{S(t)}-\langle S\rangle_{ss}=\frac{i}{\hbar} \int_{0}^{\infty} d \tau f(t-\tau)\left\langle\left[S_{I}(\tau), S_{I}(0)\right]\right\rangle \end{align}$

故响应函数

$\begin{align} \begin{split} R(\tau) &=-\frac{i}{\hbar}\left\langle\left[S_{I}(\tau), S_{I}(0)\right]\right\rangle \qquad \tau \geq 0 \\ &=0 \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\tau<0 \end{split} \end{align}$

进一步推导

$\begin{align} \begin{split} R(\tau)&=-\frac{i}{\hbar}\theta(\tau)\left\langle\left[S_{I}(\tau)S_{I}(0)\right]\right\rangle-\left\langle\left[S_{I}(0)S_{I}(\tau)\right]\right\rangle\\ &=-\frac{i}{\hbar}\theta(\tau)( C_{SS}-C_{SS}^*)\\ &=\frac{2}{\hbar}\theta(\tau)C_{SS}^{''}(\tau) \end{split} \end{align}$

对响应函数进行傅里叶变换，即可得到响应函数的谱，即

$\begin{equation} \begin{aligned} S(\omega)&=\int_0^\infty \frac{2}{\hbar}C_{SS}^{''}(\tau)e^{-i\omega \tau} ds \tau \end{aligned} \end{equation}$ $\begin{aligned} \lim _{\eta \rightarrow 0} \frac{1}{\omega-y+i \eta}&=\lim _{\eta \rightarrow 0} \frac{\omega-y-i \eta}{(\omega-y+i \eta)(\omega-y-i \eta)}\\&=\lim _{\eta \rightarrow 0} \frac{\omega-y}{(\omega-y)^2+\eta^2}-i\frac{\eta}{(\omega-y)^2+\eta^2}\\&=\mathcal{P} \frac{1}{\omega-y}-i \pi \delta(\omega-y) \end{aligned}$

虚部参考

$\delta(x)=\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi} \frac{a}{a^2+x^2}$